Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án
Phần II. Tự luận
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Trắc nghiệm 4 phương án
Câu 1. Cho góc nhọn α với tan α = 3/4. Khi đó sin α bằng:
Đáp án: B. 3/5
Lời giải.tan α = đối/kề = 3/4. Coi cạnh đối = 3k, kề = 4k thì huyền = √(9+16)k = 5k. Vậy sin α = 3k/5k = 3/5. Phương án 4/5 là cos α; 3/4 là tan α.
Câu 2. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Độ dài cạnh huyền là:
Đáp án: B. 10 cm
Lời giải.Theo định lí Pythagore: cạnh huyền = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 cm. Đáp án 14 là cộng 6+8; 2 là hiệu; 48 là tích.
Câu 3. Tam giác ABC vuông tại A (như hình bên) có AB = 5, AC = 12. Độ dài cạnh huyền BC bằng:
Đáp án: B. 13
Lời giải.BC = √(5² + 12²) = √169 = 13.
Câu 4. Nghiệm của phương trình 6x + 7 = -17 là:
Đáp án: D. -4
Lời giải.6x = -17 − 7 = -24 ⇒ x = -4.
Câu 5. Giá trị của (√15)² bằng:
Đáp án: C. 15
Lời giải.(√a)² = a = 15 (với a ≥ 0).
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình −2x + 4 < 0 là:
Đáp án: A. x > 2
Lời giải.−2x + 4 < 0 ⇔ x > 2 (chia cho −2 < 0 nên đổi chiều).
Câu 7. Đưa √24 về dạng a√6, giá trị a bằng:
Đáp án: D. 2
Lời giải.√24 = √(2²·6) = 2√6 ⇒ a = 2.
Câu 8. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3x − 12 ≥ 0 là:
Đáp án: C. 4
Lời giải.3x − 12 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4; nghiệm nguyên nhỏ nhất là 4.
Câu 9. Rút gọn biểu thức 3√5 + 2√5 ta được:
Đáp án: D. 5√5
Lời giải.3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5.
Câu 10. Biểu thức √(x − 2) xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi:
Đáp án: B. x ≥ 2
Lời giải.Cần x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
Câu 11. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9, CH = 16. Độ dài AH bằng:
Đáp án: A. 12
Lời giải.AH² = BH·CH = 9·16 = 144 ⇒ AH = 12.
Câu 12. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4, BC = 9. Độ dài AB bằng:
Đáp án: B. 6
Lời giải.AB² = BH·BC = 4·9 = 36 ⇒ AB = 6.
PHẦN II. Tự luận
Câu 1. Giá trị của (√20)² bằng:
Đáp án: 20
Lời giải. (√a)² = a = 20 (với a ≥ 0).
Câu 2. Nghiệm của phương trình 3x − 3 = 0 là:
Đáp án: 1
Lời giải. 3x − 3 = 0 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
Câu 3. Nghiệm của phương trình √(x − 5) = 2 là:
Đáp án: 9
Lời giải. √(x − 5) = 2 ⇒ x − 5 = 2² = 4 ⇒ x = 9.
Câu 4. Giá trị của √100 bằng:
Đáp án: 10
Lời giải. √100 = √10² = 10.
Câu 5. Cho biểu thức B = (x − 5√x + 6)/(√x − 2) (với x ≥ 0, x ≠ 4). Rút gọn B rồi tính giá trị của B khi x = 49.
Đáp án: 4
Lời giải. Đặt t = √x: t² − 5t + 6 = (t − 2)(t − 3). Do đó B = ((√x − 2)(√x − 3))/(√x − 2) = √x − 3. Khi x = 49: B = 7 − 3 = 4.
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng sin(B) = cos(C) và cos(B) = sin(C).
Lời giải. Tam giác ABC vuông tại A nên cạnh huyền là BC và hai góc nhọn B, C phụ nhau (B + C = 90°).
Xét sin(B) = AC/BC và cos(C) = AC/BC (cạnh kề của C là AC) ⇒ sin(B) = cos(C).
Xét cos(B) = AB/BC và sin(C) = AB/BC (cạnh đối của C là AB) ⇒ cos(B) = sin(C). (Đây là tính chất: sin(của) một góc nhọn bằng côsin của góc phụ với nó.) (đpcm)
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng sin²B + sin²C = 1.
Lời giải. Tam giác ABC vuông tại A nên cạnh huyền là BC. Với góc nhọn B: sin(B) = cạnh đối/cạnh huyền = AC/BC. Với góc nhọn C: sin(C) = AB/BC.
Do đó sin²B + sin²C = AC²/BC² + AB²/BC² = (AC² + AB²)/BC². Theo định lí Pythagore AB² + AC² = BC² nên sin²B + sin²C = 1. (đpcm)