Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án
Phần II. Tự luận
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Trắc nghiệm 4 phương án
Câu 1. Một người đứng cách chân tháp 30 m, nhìn đỉnh tháp dưới góc nâng 40°. Biết tan 40° ≈ 0,84. Chiều cao tháp (mắt người sát đất) khoảng:
Đáp án: B. 25,2 m
Lời giải.Trong tam giác vuông, chiều cao = khoảng cách · tan(góc nâng) = 30 · tan 40° ≈ 30 · 0,84 = 25,2 m. Nếu chia thay vì nhân được 35,7 m (sai); 12,6 là nhầm hệ số.
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8. Độ dài cạnh huyền BC bằng:
Đáp án: D. 10
Lời giải.Theo định lí Pythagore: BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10.
Câu 3. Giải bất phương trình 3x - 7 < 5:
Đáp án: B. x < 4
Lời giải.3x - 7 < 5 ⇔ 3x < 5 + 7 = 12 ⇔ x < 12/3 = 4. Vậy x < 4. Nếu quên cộng 7 sẽ sai; nếu chia nhầm ra x<12.
Câu 4. Giá trị của √2 · √8 là:
Đáp án: B. 4
Lời giải.√2·√8 = √16 = 4.
Câu 5. Rút gọn biểu thức 2·√18 - (1/5)·√50 + √32 ta được:
Đáp án: A. 9√2
Lời giải.2·3√2 - (1/5)·5√2 + 4√2 = 6√2 - √2 + 4√2 = 9√2.
Câu 6. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3x − 9 ≥ 0 là:
Đáp án: D. 3
Lời giải.3x − 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3; nghiệm nguyên nhỏ nhất là 3.
Câu 7. Nghiệm của phương trình 8x = -24 là:
Đáp án: C. -3
Lời giải.x = -24 : 8 = -3.
Câu 8. Rút gọn biểu thức 2√5 + 2√5 ta được:
Đáp án: B. 4√5
Lời giải.2√5 + 2√5 = (2 + 2)√5 = 4√5.
Câu 9. Giá trị của (√6)² bằng:
Đáp án: C. 6
Lời giải.(√a)² = a = 6 (với a ≥ 0).
Câu 10. Đưa √27 về dạng a√3, giá trị a bằng:
Đáp án: A. 3
Lời giải.√27 = √(3²·3) = 3√3 ⇒ a = 3.
Câu 11. Nghiệm của phương trình 2x = -10 là:
Đáp án: A. -5
Lời giải.x = -10 : 2 = -5.
Câu 12. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức 4/(√5 − 1), ta được:
Đáp án: B. √5 + 1
Lời giải.Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là (√5 + 1): 4/(√5 − 1) = 4(√5 + 1)/[(√5 − 1)(√5 + 1)] = 4(√5 + 1)/(5 − 1) = 4(√5 + 1)/4 = √5 + 1.
PHẦN II. Tự luận
Câu 1. Nghiệm của phương trình 3x + 6 = 2x + 9 là:
Đáp án: 3
Lời giải. (3 − 2)x = 9 − 6 ⇒ x = 3 ⇒ x = 3.
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức P = √((3 − √10)²) − √10.
Đáp án: -3
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Áp dụng hằng đẳng thức √(A²) = |A|, ta có P = |3 − √10| − √10.
Bước 2 (0,25đ): Vì 3 = √9 < √10 nên 3 − √10 < 0.
Bước 3 (0,25đ): Suy ra |3 − √10| = √10 − 3.
Bước 4 (0,25đ): P = (√10 − 3) − √10 = −3. Vậy P = −3.
Câu 3. Nghiệm của phương trình √(x − 7) = 5 là:
Đáp án: 32
Lời giải. √(x − 7) = 5 ⇒ x − 7 = 5² = 25 ⇒ x = 32.
Câu 4. Một cây thẳng đứng cao 6 m có bóng trên mặt đất dài 8 m. Khoảng cách từ ngọn cây đến đỉnh bóng của nó trên mặt đất là bao nhiêu mét?
Đáp án: 10
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Mô hình hóa thành tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là chiều cao cây (6 m) và chiều dài bóng (8 m).
Bước 2 (0,25đ): Khoảng cách từ ngọn cây đến đỉnh bóng chính là cạnh huyền của tam giác vuông đó.
Bước 3 (0,25đ): Áp dụng định lí Pythagore, ta có d = √(6² + 8²).
Bước 4 (0,25đ): d = √(36 + 64) = √100 = 10 (m). Vậy khoảng cách cần tìm là 10 m.
Câu 5. Rút gọn biểu thức N = 1/(√5 − 2) − 1/(√5 + 2).
Đáp án: 4
Lời giải. N = ((√5 + 2) − (√5 − 2))/((√5 − 2)(√5 + 2)) = 4/(5 − 4) = 4.
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng AH = BC·sin(B)·cos(B).
Lời giải. Trong tam giác ABH vuông tại H: sin(B) = AH/AB ⇒ AH = AB·sin(B). (1)
Trong tam giác ABC vuông tại A: cos(B) = AB/BC ⇒ AB = BC·cos(B). (2)
Thay (2) vào (1): AH = (BC·cos(B))·sin(B) = BC·sin(B)·cos(B). (đpcm)
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng AM·AB = AN·AC.
Lời giải. Vì AH ⊥ BC nên tam giác ABH vuông tại H; HM ⊥ AB là đường cao ứng với cạnh huyền AB, theo hệ thức lượng: AH² = AM·AB. (1)
Tương tự, tam giác ACH vuông tại H; HN ⊥ AC là đường cao ứng với cạnh huyền AC: AH² = AN·AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM·AB = AN·AC (cùng bằng AH²). (đpcm)