Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án
Phần II. Tự luận
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Trắc nghiệm 4 phương án
Câu 1. Thu gọn biểu thức 5x²y - 3x²y + 2x²y ta được:
Đáp án: D. 4x²y
Lời giải.Các hạng tử đồng dạng nên cộng hệ số: 5 - 3 + 2 = 4, giữ nguyên phần biến x²y. Kết quả 4x²y. Đáp án 4x⁶y³ sai do nhân số mũ; 10x²y do cộng nhầm dấu.
Câu 2. Một hình bình hành có chu vi 40 cm, một cạnh dài 12 cm. Cạnh kề của nó dài:
Đáp án: B. 8 cm
Lời giải.Chu vi hình bình hành = 2(a+b) = 40 ⇒ a+b=20. Với a=12: b=20-12=8 cm. Chọn 28 cm là nhầm 40-12; 16 cm là nhầm 40:2-... sai.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây về hình thang cân là đúng?
Đáp án: D. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
Lời giải.Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Câu 4. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Đáp án: C. y - x = -(x - y)
Lời giải.-(x - y) = -x + y = y - x ⇒ đúng.
Câu 5. Phân tích đa thức x² - 9 thành nhân tử.
Đáp án: A. (x − 3)(x + 3)
Lời giải.Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3). (x - 3)² là bình phương hiệu nên sai; các phương án còn lại không thoả khai triển.
Câu 6. Kết quả khai triển (x + 3)² là:
Đáp án: C. x² + 6x + 9
Lời giải.Theo hằng đẳng thức (a+b)² = a² + 2ab + b² với a=x, b=3: x² + 2·x·3 + 9 = x² + 6x + 9. Chọn x²+9 là quên hạng tử giữa; x²+3x+9 sai hệ số 2ab; dấu trừ là nhầm với (a-b)².
Câu 7. Tính hiệu hai đa thức (4xy + 5 - 3y²) - (4xy - 3y²) ta được:
Đáp án: D. 5
Lời giải.(4xy + 5 - 3y²) - (4xy - 3y²) = 5.
Câu 8. Phân tích đa thức 3x² − 6x thành nhân tử:
Đáp án: D. 3x(x − 2)
Lời giải.Đặt nhân tử chung là 3x: 3x² − 6x = 3x(x − 2). Chọn D.
Câu 9. Một chiếc thang dài 5m dựa vào tường, chân thang cách tường 3m. Thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu?
Đáp án: B. 4m
Lời giải.Áp dụng Pythagore: chiều cao h = √(5² - 3²) = √(25-9) = √16 = 4m. Nhiễu 2m = 5-3; 8m = 5+3; √34 cộng nhầm bình phương.
Câu 10. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án: A. (x - 2)(x² + 2x + 4) = x³ - 8
Lời giải.Hiệu hai lập phương: (x - 2)(x² + 2x + 4) = x³ - 8.
Câu 11. Phân tích đa thức x² + 16x + 64 thành nhân tử, ta được:
Đáp án: C. (x + 8)²
Lời giải.x² + 16x + 64 = (x + 8)².
Câu 12. Tính nhanh giá trị biểu thức 29² − 25²:
Đáp án: A. 216
Lời giải.29² − 25² = (29 − 25)(29 + 25) = 4·54 = 216.
PHẦN II. Tự luận
Câu 1. Cho biểu thức P = x² − 7. Tính giá trị của biểu thức P tại x = 5.
Đáp án: 18
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Xác định biểu thức cần tính giá trị: P = x² − 7.
Bước 2 (0,25đ): Thay giá trị x = 5 vào biểu thức P.
Bước 3 (0,25đ): Tính lũy thừa 5² = 25, biểu thức trở thành 25 − 7.
Bước 4 (0,25đ): P = 25 − 7 = 18. Kết luận: P = 18.
Câu 2. Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức (x + 6)².
Đáp án: 12
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: (x + 6)² = x² + 2 · x · 6 + 6².
Bước 2 (0,25đ): Thu gọn biểu thức: (x + 6)² = x² + 12x + 36.
Bước 3 (0,25đ): Xác định hạng tử chứa x là 12x.
Bước 4 (0,25đ): Hệ số của x là 12. Kết luận: hệ số cần tìm là 12.
Câu 3. Tìm x lớn hơn 0 thỏa mãn phương trình x² − 6x = 0.
Đáp án: 6
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Phân tích vế trái thành nhân tử: x² − 6x = x(x − 6) = 0.
Bước 2 (0,25đ): Suy ra x = 0 hoặc x − 6 = 0.
Bước 3 (0,25đ): Tìm được x = 0 hoặc x = 6.
Bước 4 (0,25đ): Đối chiếu điều kiện x > 0, nhận nghiệm x = 6.
Câu 4. Màn hình tivi nhà bạn An có dạng hình chữ nhật với chiều dài 80 cm và chiều rộng 60 cm. Tính độ dài đường chéo của màn hình tivi đó (đơn vị: cm).
Đáp án: 100
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Đường chéo màn hình là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là chiều dài 80 cm và chiều rộng 60 cm.
Bước 2 (0,25đ): Áp dụng định lí Pythagore: d² = 80² + 60².
Bước 3 (0,25đ): Tính d² = 6400 + 3600 = 10000.
Bước 4 (0,25đ): d = √10000 = 100 (cm). Kết luận: đường chéo màn hình dài 100 cm.
Câu 5. Cho x − y = 6. Tính giá trị của biểu thức M = x² − 2xy + y².
Đáp án: 36
Lời giải. Bước 1 (0,25đ): Nhận xét M = x² − 2xy + y² có dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Bước 2 (0,25đ): Viết gọn biểu thức: M = (x − y)².
Bước 3 (0,25đ): Thay x − y = 6 vào biểu thức.
Bước 4 (0,25đ): M = 6² = 36. Kết luận: M = 36.
Câu 6. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
c) Chứng minh AN và CM cắt BD lần lượt tại hai điểm chia BD thành ba đoạn bằng nhau.
Lời giải. a) AM = NC (= ½AB = ½DC) và AM // NC nên AMCN là hình bình hành.
b) O là trung điểm AC và BD (giao hai đường chéo). Trong hình bình hành AMCN, MN cắt AC tại trung điểm O nên M, O, N thẳng hàng.
c) Gọi Q = CM ∩ BD. Trong tam giác ABC, CM và BO là hai trung tuyến (M trung điểm AB, O trung điểm AC) nên Q là trọng tâm tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, BQ = ⅔BO; mà O là trung điểm BD nên BO = ½BD, suy ra BQ = ⅔·½BD = ⅓BD. Gọi P = AN ∩ BD; trong tam giác ACD, AN và DO là hai trung tuyến (N trung điểm CD, O trung điểm AC) nên P là trọng tâm, DP = ⅔DO = ⅔·½BD = ⅓BD. Vậy BQ = DP = ⅓BD, do đó Q, P chia BD thành ba đoạn bằng nhau: BQ = QP = PD = ⅓BD.
Câu 7. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt AD tại P và cắt BC tại Q.
a) Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thoi.
Lời giải. a) (0,75đ) Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC và AB // CD ⇒ góc MAO = góc NCO (so le trong). [0,25đ]
Xét tam giác AMO và tam giác CNO có: AM = CN, góc MAO = góc NCO, OA = OC ⇒ tam giác AMO = tam giác CNO (c.g.c). [0,25đ]
Suy ra góc AOM = góc CON; mà góc CON + góc MOC = góc AOM + góc MOC = 180° nên M, O, N thẳng hàng và OM = ON. [0,25đ]
b) (0,75đ) Do AD // BC ⇒ góc APO = góc CQO (so le trong); chứng minh tam giác APO = tam giác CQO (g.c.g) ⇒ OP = OQ. [0,25đ]
Tứ giác MPNQ có hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành. [0,25đ]
Mặt khác PQ ⊥ MN tại O (giả thiết). Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. Vậy MPNQ là hình thoi. [0,25đ]